Kabel durchgeschmort - was nun?

WICHTIG! Nicht beide Pole an einen einpoligen Schalter anschliessen!!

Ob der Pluspol (rot) vom Akku jetzt in der Mitte oder auf der Seite angeschlossen ist - und entsprechend die Zuleitungen zu den LEDs dann außen oder in der Mitte ist egal!
Der andere Kabelstrang (Minus/schwarz) wird direkt mit der Zuleitung vom Akku verbunden.

Also Anschlusskabel für den Akku besorgen und Lötkolben anheizen

Versorgung geht auch vom Empfänger, ich hätte nur gemeint, wenn Du schon einen passenden Akku hast, ist das die einfachere Lösung > und im Falle des Falles auch weniger "gefährlich" - in deinem Fall hätte es z.B. den Empfänger auch beschädigen können

Aber es ist glücklicher Weise nicht viel passiert und es auch nicht sooo viel AUfwand, die paar Lötstellen neu zu machen

Das Licht von der Fernbedienung aus zu schalten ist jetzt nicht so ganz einfach wie Du Dir das vorstellst denn der Empfänger schaltet die Spannung am 3. Kanal nicht einfach aus wenn Du den Schalter auf "Aus" stellst - auch wenn Du diesen Kanal als "Schaltkanal" konfigurierst.

Kurzerklärung: Am Empfänger hat ja jeder Kanal 3 Pole (Pins). Davon sind zwei die Versorgungsspannung (+ und -) für die Teile die man dort anschließt. Diese Spannung ist aber IMMER aktiv solange der Empfänger auch mit Strom versorgt wird. Mit deiner Fernsteuerung beeinflußt Du nur den dritten Pol(Pin), die eigentliche "Signalleitung".
Diese Signalleitung ist wirklich als Signalleitung zu verstehen denn sie ist codiert und nicht einfach dauerhaft auf ein oder aus - auch wenn Du einen "Schaltkanal" auf Deiner Fernbedienung einstellen kannst. Dort kommen lauter kurze Pulse heraus und deren Dauer korrespondiert mit dem was Du auf der Fernsteuerung vorgibst.
Um damit LEDs ein- auszuschalten benötigst Du einen "RC Schalter" wie zb. den hier: -Link RC Schalter. Dieser kleine Baustein macht dann aus den vielen kurzen Pulsen ein schönes "EIN" oder "AUS" für die LEDs. Dessen Anschluß ist aber für einen Anfänger vielleicht noch etwas heftig, da wärs vielleicht am einfachsten wenn Du Dich mal kurz vorstellst mit Wohnort. Vielleicht ist ja zufällig wer um die Ecke aus dem Forum der Dir beim Anschluß helfen kann.

Langerklärung:
-Link zur PWM Wiki
Hier wird erklärt wie die Empfängersignale zu verstehen sind.
Es wird prinzipiell alle 20ms ein Impuls ausgegeben. Dessen Dauer korrespondiert mit der Stellung Deines Schalters oder Deines Gasfingers oder des Lenkrades auf der Fernsteuerung. Dort ist auch ein Beispiel mit link/rechts angegeben. Da siehst Du zb. wenn Du links lenkst dann sind es lauter kurze Pulse, wenn Du rechts lenkst dann sind es lauter lange Impulse. Und genau so funktioniert auch der Schaltkanal. "Aus" bedeutet zb. lauter kurze Impulse und "Ein" bedeutet zb. lauter lange Impulse. Und der RC Schalter wandelt das eben in ein Dauer-Ein oder Dauer-Aus um.

Kleiner Tipp fürs Löten:
Wenn Du mehrere Drähte an etwas anlöten musst dann verdrille diese vorher. Isoliere sie dazu etwas länger ab, verdrille/verzwirble alle zu einem einzigen dickeren Strang. Dann verzinne diesen mal nur mit Lötzinn damit alle Adern miteinander verlötet sind. Gib dann dort wo Du die Drähte anlöten möchtest auch etwas Lötzinn drauf und anschließend verbinde beide Teile mit genug Hitze und ein bissi Lötzinn dazu. Die Drähte sollten wenn möglich nicht zu lange sein, zwick sie ab sodass die Isolierung dort aufhört wo Du die Drähte am Schalter anlötest. Es sollten keine einzelnen Litzen wegstehen und mit Lötzinn nicht unbedingt sparen bzw. vielleicht auch etwas mehr Hitze/länger anheizen. Der Schrumpfschlauch soll ja nicht ausschließlich dazu dienen seine "Schandtaten" zu verstecken

Ja das passt so.

Mit dem 3. Kanal deiner Funke solltest du besser eine Winde betreiben statt des Lichts !!!